――

形の法則には、他にもいろいろなものがありますね。

高木

例えば、らせん状に並ぶひまわりの種がそうです。らせんの数は34本と55本が多いのですが、これらはフィボナッチ数という特別な数なのです。

――

数が決まっているのですか！

高木

この数列の名前に冠されたのが、13世紀ごろのイタリアの数学者で、ルネサンスの草分け、レオナルド・フィボナッチです。中世当時のヨーロッパは暗黒時代でしたから、彼は、数学を学ぶためアラブ諸国を旅して、学んだことを『算盤の書』という本にまとめ、ヨーロッパで出版しました。この中にフィボナッチ数についての記述があります。ですから、彼が発見したものではないのですが、彼の名前にちなんで「フィボナッチ数」と呼ばれるに至ったのです。
まず、フィボナッチ数というものが何か、文字列の足し算で考えてみましょう。
ＳとＬという２つの文字があったとします。そこに、ＳはＬになり、ＬはLSになるという規則を与えます。すると、Ｓから始まる式は、
Ｓ　→　Ｌ　→　LS　→　LSL　→　LSLLS　→　LSLLSLSL　→　…
となります。各段階の文字数は、
１、１、２、３、５、８、13、21、34、55、…と増えていきます。これがフィボナッチ数列です。興味深いのは、ＳがＬになり、ＬがSLになり…という厳密な規則性はあっても、周期性はないということです。

――

パターンがないということですか。

高木

厳密な規則に従いながら周期性がない、つまり同じパターンの繰り返しにはならないのです。その2次元版に、ペンローズタイルというものがあります。これは、２種類のひし形（タイル）を敷き詰めて作る平面です。タイルを隣接させるとき厳しい条件がついており、ここでも厳格な規則はあっても、周期性はありません。
このペンローズタイルは、中世イスラム建築の幾何学模様として知られていましたが、その後イスラエルの科学者がこの法則をよりどころに自然界の「準結晶」の仕組みを発見して、2011年にはノーベル化学賞を受賞しています。

――

準結晶？

高木

最近まで結晶は、ミクロな世界で原子が周期的に秩序正しく並んでいると考えられてきました。しかし、そうならない１方向にずらすと決して重なることがないという結晶が発見されたのです。それが準結晶です。これは、ペンローズタイルやフィボナッチ数といったものに深く関係した構造です。

――

何かに応用されたりしているのですか。

高木

工学上の応用はまだ無いようです。デザインとしては、コペンハーゲンのチボリ公園の池の底に、ペンローズタイルを模したと思われるタイルが張られているのですが…ただ、現地に行って、それに気付く人はあまりいないと思います（笑）。規則的だけれど周期性がないというのは、人間にとっては収まりが悪いというか、落ち着かないという印象があるのでしょうね。将来は、これを受け入れるような感性が発達するかも知れません。

――

自然界には、私たちが知らないだけである一定の規則にのっとったこうした法則がたくさんあるのでしょうね。

高木

先に触れたひまわりですが、この花は、実は小さい花（小花）がたくさん集まったもので、その周辺に1枚の花びらをもつ花が取り巻いているのです。中心部の小花は、ある規則に従ってらせん状に並んでいるのですが、これを再現する実験をしたことがあります。鉛筆に糸を結びつけ、その糸の先をピンで留めて、糸をピンと張ったまま鉛筆を動かしていくと、鉛筆に糸が巻き付いて円の半径が小さくなりらせんが描けます。こうして描いたらせん上に点を一つ打ち、更にそこから中心のまわりに137.5度回ったところに、また点を打ち…と、続けていってでき上がるたくさんの点で、近い点同士をつなぐと、ひまわりらせんが描けるのです。

――

137.5度というのは？

高木

360度を、黄金比で分割した角度です。

――

黄金比とは、正方形の一辺にその約60％分の長方形を足してできる長方形の、辺の比のことですね。

高木

そうです。黄金比は、1:1.618。360度をこの比で分割すると、小さい方がちょうど137.5度分なのです。松ぼっくりにもひまわりのらせんと同じらせんが見られるし、小松菜などの葉が出る方向も茎のまわりに137.5度ずつ回っています。木の枝もその法則に従うものが非常に多く、自然の中に黄金比があることが分かりますね。
黄金比が、なぜヨーロッパで尊重されるようになったかについては、ピタゴラスへの尊敬の念によって黄金比が尊重されるようになったという説が有力です。それは、彼が正五角形の辺と対角線の比が黄金比であることを示したことから来ています。しかし、それだけではないんじゃないかと思っています。というのも、自然の中にたくさんの黄金比が見られるし、人間の体の中にも、黄金比に近いものがあるんです。例えば、手の指の第一関節から第二関節までと第二関節から第三関節の長さは、約1.6倍です。さらに、指先から手首までの長さと手首からひじまでの長さは黄金比になっています。

――

植物にも人間の体の中にも、同じ比率が存在するというのが興味深いですね。

高木

人間と生物が同じ数理モデルで行動することもあります。ボロノイ分割と呼ばれ、平面を分割する方法があります。
平面内に点を配置し、隣り合うふたつの点の間にすべて垂直二等分線を引いていくとしましょう。すると最終的に平面が多角形で分割されます。これがボロノイ分割です。
その例としてまず、ティラピアという魚が池や川の底の砂地に作る巣に見られます。魚の数が少ないとばらばらに離れて巣を作るのですが、過密になると、互いにけん制し合い、お互いの位置の間に引いた垂直二等分線が境界になるように縄張りを決めるのです。その結果、縄張りはしばしば六角形の配置になります。
人間の場合は国境が例に挙げられます。ヨーロッパの国の首都を基にボロノイ分割をしてみると、実際の国境に近いことが分かります。ボロノイ分割線上の点は隣国同士の首都に対して等距離にあり、各国の勢力が均衡している場合はそれが実際の国境になります。ただし、ロシアのような強国の国境は、隣接する国の首都を基にしたボロノイ分割線よりも相手国に大きく張り出していますね。
ボロノイ分割とは縄張りの数理モデルですから、国境以外にも、町中の小学校や郵便局、あるいはコンビニといった施設を基にボロノイ分割すると、それらの配置が合理的かどうか、すなわちそれらの縄張りの広さが均等かどうかを判断できるかもしれませんね。

――

社会的な境界についても、法則があるということですね。

高木

大学の授業で、今の日本の県庁所在地をもとに、ボロノイ分割をするという宿題を出したことがあります。そうすると今の県境に、大体一致するのです。今の県境は戦国の世を経て決まったものですが、その影響が色濃く残っているということがボロノイ分割からも分かりました。

――

自分たちで決めていると思っていたのに、実は、ある種の法則の力がそこに働いていたとは…。

高木

ええ。その時々の気持ちや希望に従って作っているようで、マクロな視点から見れば、ある法則性に従っていたということは、あるかもしれません。

――

さまざまな「形」が、偶然にできあがっているように見えて、そこに法則性があるというのは、改めて興味深いことです。

高木

和語の「かたち」は、「かた」と「ち」の組み合わせと考えられています。「かた」は「型」、同じ形を作る原型、あるいはその鋳型（いがた）を指します。つまり、その外側の輪郭のみに着目していますが、「かたち」の「ち」は、「いのち（命）」「だいち（大地）」、あるいは年を経て霊力を持った「おろち（大蛇）」などのように、生命力や霊力といった内面的な力を表します。つまり「かたち」とは、そのものの本質をも指すと考えられます。

――

ひとつの仕事を終えた時「かたちになった」と言いますね。

高木

そうです。形を研究する際には、ものの「かたち」を見て、その本質に迫りたいという気持ちをもっています。未来の社会を考える時に重要視されていることは、その持続性です。その意味で自然は、その持続性という仕組みを持つ代表例です。だからこそ自然の中のかたちを観察することによって、あるいはその仕組みを学ぶことによって、これからの社会のデザインに生かす、これは将来の文化をいかに作るかということにも通じます。そういう問題意識を持った時に、形の科学が何らかの役割を果たすのではないかと思っています。

――

なるほど。

高木

いろいろな形を持ち、またいろいろな要素が組み合わさって「自然」は、できています。だから、ある要素だけ取り出しても、全体は見えない。その時に、物の形と向き合わざるを得ないと思うのです。